Hallo, unser nächstes Thema sind Reihen. Reihen sind eigentlich nur Folgen. Wir nennen

sie nur anders, weil man für diese speziellen Art von Folgen besondere Techniken braucht.

Wir fangen an mit einer Folge an und wir definieren die nte Partialsumme der Folge,

die so definiert ist, dass wir die ersten n Folgen wieder aufsummieren. Und dieses

Sn, das definiert uns jetzt eine neue Folge, Sn. Also S1 ist einfach nur a1, die Partialsumme

über die ersten 1, also das erste Element. S2 sind die ersten beiden, S3 ist die Summe

über die ersten 3 und so weiter. Und das ist natürlich eine Folge. Und diese Folge von Sn,

die könnte man jetzt einfach eine Folge nennen, aber diese spezielle Struktur von diesen Partialsummen,

die bringt eine eigene Reihe von Techniken mit sich, die ganz anders sind als die, die man bei

den Folgen braucht, bei den normalen Folgen braucht. Deswegen verdienen sie einen eigenen

Namen und dieser eigenen Name ist der Begriff der Reihe. Also eine Reihe ist einfach nur eine Folge,

bei der die Folgen wieder eine spezielle Struktur als Partialsumme haben. Das ist also eine Reihe.

Und der Grenzwert einer Reihe ist der Grenzwert der Folge der Partialsumme. Das heißt der Grenzwert

von Sn für ngegenendlich ist der Grenzwert dieser Partialsumme und das schreibt man als

Symbol k gleich 1 bis unendlich von ak. Das ist ein kompliziertes Objekt, das muss sich immer

existieren. Da werden wir viele Beispiele sehen, aber wenn es existiert, dann meint man das damit.

Das heißt, ist eine Reihe dieser speziellen Art hier konergent, so nennt man diesen Grenzwert,

dass ich gerade hingeschrieben habe, das hier. Und jetzt aus historischen Gründen und auch aus

Bequemlichkeitsgründen, also man müsste eigentlich die Reihe immer so bezeichnen,

dass also einfach genau die Notation, die man auch bei Folgen benutzt, aber typisch

weil sagt man einfach die Reihe ist dieses Objekt hier und das ist aber eigentlich der

Grenzwert. Also ob jetzt mit diesem Symbol hier die Reihe an sich gemeint ist oder der Grenzwert,

ist eigentlich egal und ist aus dem Kontext herrschließbar. Unser erst wichtiges Beispiel

ist die geometrische Reihe. Das war eventuell bei Ihnen im ersten Semester schon, aber wenn

nicht dann ist es auch egal, weil wir es schaffen es auch hier schnell herzuleiten. Q ist eine

komplexe Zahl und wir schauen uns jetzt alle enden Potenzen von Q an. Also Q hoch 0 ist 1,

Q hoch 1 ist Q, Q mal Q und so weiter, das ist die geometrische Folge und die Folge der Partialsumme

davon, also die Summe über die ersten Endpotenzen von Q, das ist die geometrische Reihe. Also 1 plus

Q plus Q Quadrat plus Q hoch 3 plus und so weiter, das ist die geometrische Reihe. Und wir sehen schon,

dass fängt es hier bei 0 an, das heißt da ergibt auch S0 Sinn und bei Reihen ist es oft so, dass

die auch bei 0 anfangen. Also bei Folgen war es auch erlaubt, dass wir bei 0 anfangen, wir haben

dieses, die sich selten ausgenutzt haben, aber bei Reihen ergibt es oft Sinn das so zu schreiben.

Die geometrische Reihe ist sehr einfach, weil wir den Grenzwert exzellent ausrechnen können. Man kann

zeigen, dass die Summe, also 1 plus Q plus Q Quadrat plus und so weiter plus Q hoch N, dass das gleich

den ist. Also dieses fancy Symbol hier ist ja nur das hier. Man kann zeigen, das da ist gleich dem da

und der kurze Beweis ist, naja, wie zeigt man, dass dieser Bruch hier gleich diesem hier ist? Wir

multiplizieren einfach mit 1 minus Q durch, also 1 plus Q. Ich mache es einfach mal nur bis Q Quadrat und

dann geht der Beweis genauso auch für bis Q hoch N mal 1 minus Q. Was ist das? Erstmal alles mit 1

multiplizieren, 1 plus Q plus Q Quadrat minus, jetzt alles mit Q multiplizieren, Q plus Q Quadrat plus

Q hoch 3 und jetzt kürzt sich das mit dem, das mit dem und wir bekommen 1 minus Q hoch 3. Das heißt,

1 plus Q plus Q Quadrat ist tatsächlich 1 minus Q hoch 3 durch 1 minus Q. Das wäre der Beweis für

N gleich 3 und genauso geht es auch für ein beliebiges N. Okay, also für festes N können wir diese geometrische

Summe, wie man es auch nennen kann, explizit ausrechnen. Das heißt, der Grenzwert ist einfach der

Grenzwert dieses expliziten Terms, also der Grenzwert von Sn oder der Grenzwert der Reihe, so wie man

sich so schreiben kann oder auch als Symbol mit K gleich 0 bis N. Das ist alles genau das gleiche Objekt,

also das sind verschiedene Notationen. Das ist der Grenzwert für N gewöhnlich von der expliziten

von diesen expliziten Termen, die wir kennen. Und gegen was konvergiert 1 minus Q hoch N plus 1 durch

1 minus Q für N gewöhnlich? Weil das einzige was interessant ist, also das ist alles statisch,

das einzige was sich bewegt ist hier dieses Q hoch N plus 1 und was ist der Grenzwert von Q hoch N plus 1?

Was ist das hier? Entweder Q ist betraglich kleiner 1, dann kombiniert das gegen 0 oder Q